Persamaan Parabola

Seperti pada elips dan hiperbola, banyak sekali aplikasi parabola yang bertumpu pada definisi analitisnya daripada bentuk aljabarnya. Aplikasi-aplikasi tersebut, misalkan pembangunan teleskop radio dan perusahaan lampu senter, menggunakan definisi analitis parabola dalam penentuan lokasi fokus dari parabola tersebut. Berikut ini definisi analitis dari suatu parabola.

Definisi Parabola
Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan sebagai (x, –p).

Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d1 = d2, kita mendapatkan,

Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.

Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-Direktriks
Suatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x² = 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah.
Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri.