Persamaan Bola

Definisi Bola

Permukaan Bola merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.

Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.

Persamaan Bola

Misalkan Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola B, maka berlaku:

MP = OP – OM

= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)

= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)

Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:

│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:

R = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²

Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola.

Jadi persamaan Bola B yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(I)

Bila persamaan (I) dijabarkan, maka diperoleh:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (II)

Dari persamaan (II) diatas, apabila:

-2a = A, -2b = B, -2c = C dan  a² + b² + c² – R² = D, maka persamaan (II) dapat ditulis sebagai berikut:

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 ….(III)

Selanjutnya Persamaan (III) disebut BENTUK UMUM persamaan Bola karena:

-2a = A, maka a = -½ A

-2b = B, maka b = -½B

-2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian pusat Bola B pada persamaan (III) diatas adalah

M(-½A, -½B, -½C) ….(IV)

Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka didapat:

R² =  a² + b² + c² – D

R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(V)

Bentuk (IV) dan (V) berturut-turut adalah KOORD, TITIK PUSAT dan JARI_JARI Bola B yang mempunyai persamaan (III) diatas.

Untuk bola B dengan persamaan x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 terdapat tiga kemungkinan, yaitu

1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati

2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)

3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal